Number Theory 27

August 23, 2014 by Hoàng Đức Hưng

(Middle European MO 2012)
[Bài toán]:Tìm $x,y,z\in \mathbb{Z^+}$ thỏa mãn: $\begin{cases}x^y+y^x=z^y\qquad (1)\\x^y+2012=y^{z+1}\qquad (2)\end{cases}$
Lời giải
Từ $(2)\Rightarrow x,y$ cùng dấu $\Rightarrow z$ chẵn. Đặt $z=2c$ với $c$ nguyên dương

$\blacktriangleright$ Xét $x,y$ cùng chẵn, đặt $x=2a,y=2b$ với $a,b$ nguyên dương
Ta có: $(2)\Leftrightarrow (2a)^y+2^2.503=(2b)^{z+1}\Leftrightarrow 2^{2b-2}a^y+503=2^{2c-1}b^{2c-1}$
$\Rightarrow 2^{2b-2}.a^y$ lẻ $\Rightarrow a$ lẻ, $2^{2b-2}=1\Leftrightarrow b=1\Rightarrow y=2$
Thay vào $(1)$ , ta có: $x^2+2^x=z^2\Leftrightarrow 2^x=(z-x)(z+x)\Rightarrow \begin{cases}z-x=2^m\\z+x=2^n\end{cases}$ với $m<n,m+n=x$ nguyên dương
• Với $m\geq 2$ . Ta có: $2x=2^n-2^m\Leftrightarrow a=2^{m-2}(2^{n-m}-1)$ mà $a$ lẻ
$\Rightarrow m=2\Leftrightarrow z-x=4\Leftrightarrow z=4+x\Rightarrow 2^x=8x+16$
Ta thấy với $x\in \{1;...;5\}$ không thỏa mãn, $x\geq 7\rightarrow 2^x>8x+16$ (theo quy nạp) $\Rightarrow x=6\rightarrow z=10$ . Thử lại thỏa mãn.
• Với $m=1\Rightarrow z-x=2\Leftrightarrow z=2+x\Rightarrow 2^x=4x+4$
Với $x=1$ không thỏa mãn, $x\geq 2\Rightarrow x+1=2^{x-2}\Rightarrow x=2$ (không thỏa mãn)

$\blacktriangleright$ Xét $x,y$ cùng lẻ. Trừ $(1)-(2)$ , ta có: $y^x+y^{z+1}=z^y+2012\qquad (3)$
• Với $y=1\Rightarrow x=-2011$ (vô lí)
• Với $y\geq 3$ . Từ $(1)\Rightarrow x^y<z^y\Rightarrow x\leq z+1$
Ta có: $(3)\Rightarrow y^x(1+y^{z+1-x})\equiv 0\pmod 4$ mà $y$ lẻ $\Rightarrow 4\nmid y^x, z+1-x$ chẵn, $y$ lẻ
$\Rightarrow 1+y^{z+1-x}\equiv 2\pmod 4\Rightarrow VT\equiv 2\pmod 4$ (mâu thuẫn!)
Kết luận: Vậy $\boxed{(x,y,z)=(6;2;10)}$ thỏa mãn ycđb $\blacksquare$

Number Theory 23

August 11, 2014 by Hoàng Đức Hưng

(VMO 2004)
[Bài toán]: Tìm $x,y,z\in \mathbb{Z^+}$ sao cho $(x+y)(1+xy)=2^z\qquad (1)$
Lời Giải
Không mất tính tổng quát, giả sử $y\geq x$ .
Từ $(1)\Rightarrow (I)\begin{cases}x+y=2^m\\1+xy=2^{z-m}\end{cases}$ với $m\in \mathbb{Z^+}$
Ta thấy $x+y-1-xy=(x-1)(1-y)\leq 0$ vì $x,y\in \mathbb{Z^+}\Rightarrow 2^m\leq 2^{z-m}\Leftrightarrow z\geq 2m$
$\blacktriangleright$ Xét $x=1\Rightarrow \begin{cases}y=2^m-1\\y+1=2^{z-m}\end{cases}\Rightarrow 2^m=2^{z-m}\Leftrightarrow z=2m$
Do đó, phương trình có nghiệm $(x,y,z)=(1;2^m-1;2m)$ với $m\in \mathbb{Z^+}$
$\blacktriangleright$ Xét $x\geq 2$ . Từ $(I)\Rightarrow x,y$ lẻ $\Rightarrow x,y\geq 3$
Xét biểu thức: $y(x-1)(x+1)=yx^2-y=yx^2+x-x-y=x(xy+1)-(x+y)$
$=2^{z-m}x-2^m=2^m(2^{z-m}x-1)$
$\Rightarrow 2^m\mid y(x-1)(x+1)$ mà $\gcd(y,2^m)=1\Rightarrow 2^m\mid (x+1)(x-1)$
$\Rightarrow \exists x+1,x-1: 2^{m-1}\mid x+1,2^{m-1}\mid x-1$
Nếu $2^{m-1}\mid x-1\Rightarrow 2^{m-1}+1\leq x;x+y=2^m\qquad (3)$
$\Leftrightarrow y=2^m-x\leq 2^m-2^{m-1}-1=2^{m-1}-1\qquad (2)$
Từ $(2),(3)\Rightarrow y<x$ (trái với giả thiết)
$\Rightarrow 2^{m-1}\mid x+1\Rightarrow x\geq 2^{m-1}-1;x+y=2^m\qquad (4)$
$\Leftrightarrow y=2^m-x\leq 2^m-2^{m-1}+1=2^{m-1}+1\qquad (5)$
Từ $(4),(5)\Rightarrow 2^{m-1}-1\leq x\leq y\leq 2^{m-1}+1$
mà $x,y$ lẻ; $x\neq y$ vì $x=y\Rightarrow x+y\neq 2^m$ (dễ CM)
$\Rightarrow \begin{cases}x=2^{m-1}-1\\y=2^{m-1}+1\end{cases}\Rightarrow 1+(2^{m-1}-1)(2^{m-1}+1)=2^{z-m}$
$\Leftrightarrow 2^{2m-2}=2^{z-m}\Leftrightarrow 2m-2=z-m\Leftrightarrow z=3m-2$
mà $x\geq 3\Rightarrow 2^{m-1}-1\geq 3\Leftrightarrow 2^{m-1}\geq 2^2\Leftrightarrow m\geq 3$
Kết luận: Phương trình có nghiệm nguyên dương là:
$(x,y,z)\in \{(1;2^{m-1};2m);(2^{m-1};1;2m)\}$ với $m\in \mathbb{Z^+}$
$(x,y,z)\in \{(2^{m-1}-1;2^{m+1}+1;3m-2);(2^{m+1}+1;2^{m-1}-1;3m-2)\}$ với $m\geq 3,m \in \mathbb{Z^+}$ $\blacksquare$

Number Theory 21

July 29, 2014 by Hoàng Đức Hưng

(IMO 1997)
[Bài toán]: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $a^{b^2}=b^a$
Lời giải
Đặt $\gcd(a,b)=d\Rightarrow a=dm,b=dn(\gcd(m,n)=1)$
$\Rightarrow [(dm)^{dn^2}]^d=[(dn)^m]^d\Rightarrow (dm)^{dn^2}=(dn)^m\Rightarrow d^{dn^2}.m^{dn^2}=d^m.n^m(1)$
$\blacktriangleright$ TH1: $dn^2=m\Rightarrow m^{dn^2}=n^m$ mà $\gcd(m,n)=1\Rightarrow m=n=1$ mà $dn^2=m\Rightarrow d=1\Rightarrow (a,b)=(1;1)$
$\blacktriangleright$ TH2: $dn^2>m\Rightarrow d^{dn^2-m}.m^{dn^2}=n^m$
Thấy $m^{dn^2}\mid n^m$ mà $\gcd(m,n)=1\Rightarrow m=1$
$\Rightarrow d^{dn^2-1}=n^1=n$
• Xét $d=1\Rightarrow n=1$ $\Rightarrow (a,b)=(1;1)$
• Xét $d\geq 2\Rightarrow n\geq 2$ . Dùng quy nạp, ta sẽ CM: $2^{2n^2-1}>n\qquad (2)$
Giả sử $(2) \text{True}\forall n=k$ , ta sẽ CM $\forall n=k+1,(3)$ vẫn đúng.
Thật vậy, ta có: $2^{2k^2-1}>k\Rightarrow 2^{2k^2-1}\geq k+1$
Ta có: $2^{2(k+1)^2-1}=2^{2k^2+4k+1}=2^{2k^2-1}.2^{4k+2}\geq (k+1).2^{4k+2}\geq k+1$
Do đó $(2)$ được CM $\Rightarrow$ Trường hợp này không xảy ra.
$\blacktriangleright$ TH3: Xét $dn^2<m\Rightarrow (2)\Leftrightarrow m^{dn^2}=d^{m-dn^2}.n^m$ $\Rightarrow n^m\mid m^{dn^2}$ mà $\gcd(m,n)=1\Rightarrow n=1$
$\Rightarrow (2)\Leftrightarrow m^d=d^{m-d}$ . Theo bài Number Theory 8
$\Rightarrow (m;d)\in \{(1;1);(9;3);(8;2)\}\Rightarrow (a,b)\in \{(1;1);(27;3);(16;2)\}$
Kết luận: Nghiệm của phương trình là $(a,b)\in \{(1;1);(27;3);(16;2)\}$ $\blacksquare$

Number Theory 9

July 4, 2014 by Hoàng Đức Hưng

(Austrian-Polish 1998)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $x^{x+y}=y^{y-x}$ $(1)$
Lời Giải
Gọi $\gcd(x,y)=c$ . Đặt $\displaystyle{a=\frac{x}{c};b=\frac{y}{c}(a,b,c\in \mathbb{Z^+};\gcd(a,b)=1)}$
Ta có: $(1)\Leftrightarrow (ac)^{ac+bc}=(bc)^{bc-ac}$
$\Leftrightarrow a^{c(a+b)}.c^{c(a+b)}=b^{c(b-a)}.c^{c(b-a)}$
$\Leftrightarrow a^{a+b}.c^{2a}=b^{b-a}\qquad(2)$
$\Rightarrow a^{a+b}\mid b^{b-a}$ mà $\gcd(a,b)=1 \Rightarrow a=1$
Do đó: $(2)\Leftrightarrow c^2=b^{b-1}\Rightarrow b$ là số lẻ hoặc số chính phương.
Xét các trường hợp:
+, Nếu $b=2n+1(n\in \mathbb{Z^+})\Rightarrow c^2=(2n+1)^{2n}\Leftrightarrow c=(2n+1)^n$
$\Rightarrow$ • $x=ac=(2n+1)^n$
• $y=bc=(2n+1)^{n+1}$
+, Nếu $b=n^2(n\in \mathbb{Z^+})\Rightarrow c^2=n^{2(n^2-1)}\Leftrightarrow c=n^{n^2-1}$
$\Rightarrow$ • $x=ac=n^{n^2-1}$
• $y=bc=n^2.n^{n^2-1}=n^{n^2+1}$
Vậy phương trình có nghiệm tổng quát là:
$(x,y)=((2n+1)^n;(2n+1)^{n+1});(n^{n^2-1};n^{n^2+1})$ $\blacksquare$

Number Theory 8

July 4, 2014 by Hoàng Đức Hưng

(Junior Balkan MO 1998)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $x^y=y^{x-y}$
Lời Giải
Ta có: $x^y=y^{x-y}\Leftrightarrow x=y^{\frac{x-y}{y}}\in \mathbb{Z}$
$\Rightarrow x-y\vdots y\Rightarrow x\vdots y$
Đặt $x=ty(t\in \mathbb{Z^+})$
Ta có: $ty=y^{\frac{ty-y}{y}}\Leftrightarrow t=y^{t-2}$ $(1)$
$(*)$ Nếu $y=1\Rightarrow x=1$ .
$(*)$ Nếu $y\geq 2$
+, Xét $t=1\rightarrow (1)\Leftrightarrow 1=y^{-1}\Leftrightarrow y=1\Rightarrow x=1$ (không thỏa mãn)
+, Xét $t=2\rightarrow (1)\Leftrightarrow 2=y^0$ (vô lí)
+, Xét $t=3\rightarrow (1)\Leftrightarrow y=3\Rightarrow x=9$
+, Xét $t=4\rightarrow (1)\Leftrightarrow y^2=4\Leftrightarrow y=2\Rightarrow x=8$
+, Xét $t\geq 5$ . Ta dùng quy nạp, cần phải chứng minh: $y^{t-2}>t$ $(2)$
• Xét $t=5$ thì ta có $Q.E.D$
• Xét $t>5$ . Giả sử $y^{t-2}>t$ , ta phải CM với $t+1$ thì điều phải chứng minh luôn đúng.
Thật vậy, ta có: $y^{t-1}\geq 2^{t-1}=2.2^{t-2}> 2t>t+1$
Từ $(2)\Rightarrow$ Trường hợp này không xảy ra.
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là $\boxed {(x,y)=(9;3);(1;1);(8;2)}$ $\blacksquare$