Dùng dồn biến | .: Hoang Hung Chelski 's Blog :.

[Bài toán]: Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=2$ . CMR: $(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)\leq 3$
Lời Giải
Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c\geq 0$ .
Đặt $\displaystyle{t=\frac{a+b}{2};u=\frac{a-b}{2}(t,u\geq 0;t\leq 1)}$
$\rightarrow a^2+2ab+b^2=4t^2;a^2-2ab+b^2=4u^2$
$\blacktriangleright$ Ta phải CM: $(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)\leq 3t^2(t^2+tc+c^2)^2\qquad (*)$
Ta có: +, $a^2+ab+b^2=2t^2+2u^2+t^2-u^2=3t^2+u^2$
+, $(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)$
$=c^4+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+c^3(a+b)+abc(a+b+c)$
$=c^4+(t^2-u^2)^2+2c^2(t^2+u^2)+2tc^3+c(t^2-u^2)(c+2t)$
$=c^4+t^4-2t^2u^2+u^4+2t^2c^2+2u^2c^2+2tc^3+t^2c^2+2t^3c-c^2u^2-2tcu^2$
$=c^4+3t^2c^2+t^4+2tc(t^2+c^2)-u^2(2tc-c^2+2t^2-u^2)$
Ta phải CM: $\displaystyle{\frac{3t^2}{a^2+ab+b^2}-1\geq \frac{(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)}{(t^2+tc+c^2)^2}-1}$
$\Leftrightarrow \displaystyle{\frac{3t^2-3t^2-u^2}{3t^2+u^2}\geq \frac{-u^2(2tc-c^2+2t^2-u^2)}{(t^2+tc+c^2)^2}}$
$\Leftrightarrow \displaystyle{\frac{1}{3t^2+u^2}\leq \frac{2tc-c^2+2t^2-u^2}{(t^2+tc+c^2)^2}}$
$\Leftrightarrow (2tc-c^2+2t^2-u^2)(3t^2+u^2)\geq (t^2+tc+c^2)^2$
$\Leftrightarrow 6t^3c+2tcu^2-3t^2c^2-c^2u^2+6t^4+2t^2u^2-3t^2u^2-u^4\geq t^4+t^2c^2+c^4+2t^3c+2tc^3+2t^2c^2$
$\Leftrightarrow 4t^3-2tc^3-6t^2c^2+5t^4-c^4\geq u^2c^2-2tc^2+t^2u^2+u^4=u^2(t-c)^2+u^4$
Lại có: $5t^4+4t^3c-6t^2c^2+5t^4-c^4\geq 5t^4-5t^2c^2=5t^2(t-c)(t+c)$
$=5(t^3+t^2c)(t-c)\geq 5t^3(t-c)\geq 2(t-c)^4\geq u^2(t-c)^2+u^4\rightarrow (*)$ được CM.
$\blacktriangleright$ Cuối cùng, ta phải CM: $3t^2(t^2+tc+c^2)^2\leq 3$
Ta có: $t=\displaystyle{\frac{a+b}{2}}\Rightarrow c=2-2t$
$\rightarrow t^2[t^2+t(2-2t)+(2-2t)^2]^2\leq 1\Leftrightarrow 3t^3-6t^2+4t-1\leq 0$
$\Leftrightarrow (3t^2-3t+1)(t-1)\leq 0\rightarrow \text{True}$
Vậy bất đẳng thức ban đầu được CM, dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow (a,b,c)=(1;1;0)$ và hoán vị $\blacksquare$