số hữu tỉ | .: Hoang Hung Chelski 's Blog :.

CMR: Nếu $a,b,c \in \mathbb{Z}$ khác $0$ thỏa mãn $\displaystyle{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=3}$ thì $abc$ là lập phương của một số nguyên.
Lời Giải
Đặt $\displaystyle{x^3=\frac{a}{b},y^3=\frac{b}{c},c^3=\frac{c}{a}}$ .
Từ giả thiết $\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0$
$\Rightarrow 2$ trường hợp sau:
$(*)$ $x=y=z$ $\Rightarrow a=b=c$ $\Rightarrow abc=a^3 (Q.E.D)$
$(*) x+y+z=0$ $\Rightarrow \displaystyle{\sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{c}}+\sqrt[3]{\frac{c}{a}}}=0$
Nhân hai vế lần lượt với $a\sqrt[3]{b^2c},b\sqrt[3]{ac^2}$ , ta được:
$a\sqrt[3]{abc}+ab+\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=0$
và $\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+b\sqrt[3]{abc}+bc=0$
Trừ vế với vế hai phương trình trên, ta có:
$(a-b)\sqrt[3]{abc}=b(c-a)$
Nếu $a=b\Rightarrow a=b=c$ $\Rightarrow x=y=z=1$ (không thỏa mãn)
Vậy $a\neq b$ $\Rightarrow abc=[\displaystyle{\frac{b(c-a)}{a-b}}]^3$
mà $a,b,c \in \mathbb{Z}$ nên ta có $Q.E,D$ $\blacksquare$

(Tuyển sinh Chuyên Nguyễn Trãi 2003-2004)
Tìm các số hữu tỉ $a,b,c$ sao cho $\displaystyle{a+\frac{1}{b},b+\frac{1}{c},c+\frac{1}{a}}$ là các số nguyên dương.
Lời Giải
Đặt $\displaystyle{a+\frac{1}{b}=x;b+\frac{1}{c}=y;c+\frac{1}{a}=z(a,b,c\neq 0;x,y,z\in \mathbb{Z^+})}$
Ta có: $\displaystyle{b=\frac{1}{x-a};a=\frac{1}{z-c}\Rightarrow b=1\div (x-\frac{1}{z-c})=\frac{zx-xc-1}{z-c}}$ $(1)$
và $\displaystyle{b=y-\frac{1}{c}=\frac{yc-1}{c}}$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow \displaystyle{\frac{xz-xc-1}{z-c}=\frac{c}{yc-1}}$
$\Leftrightarrow c(z-c)=(yc-1)(xz-xc-1)$
$\Leftrightarrow cz-c^2=xyzc-xyc^2-yc-xz+xc+1$
$\Leftrightarrow c^2(1-xy)+c(xyz+x-y-z)-xz+1=0$
$\Leftrightarrow c^2(xy-1)-c(xyz+x-y-z)+xz-1=0$ $(3)$
$(*)$ Xét $xy=1\Rightarrow x=y=1$ (vì $x,y\in \mathbb{Z^+}$ )
$(*)$ Xét $xy>1$ . Coi phương trình $(3)$ bậc hai ẩn $c$
Ta có: $\Delta=(xyz+x-y-z)^2-4(xy-1)(xz-1)$
$=(xyz-x-y-z+2x)^2-4(x^2yz-xy-xz+1)$
$=(xyz-x-y-z)^2+4x(xyz-x-y-z)+4x^2-4x^2yz+4xy+4xz-4$
$=(xyz-x-y-z)^2-4$
Để phương trình $(3)$ có nghiệm $c$ hữu tỉ thì $\Delta$ phải là số chính phương.
Ta có: $(xyz-x-y-z)^2-4=m^2(m\in \mathbb{Z})$
$\Leftrightarrow (xyz-x-y-z-m)(xyz-x-y-z+m)=4$
Vì $x,y,z,m\in \mathbb{Z^+}\Rightarrow xyz-x-y-z\pm m\in \mathbb{Z}$
mà $4=2.2=(-2)(-2)=1.4=(-1)(-4)$ nên ta có các trường hợp.
………………………………..
………………….
Kết luận: $(a,b,c)=(1;1;1);(\frac{3}{2};2;\frac{1}{3});(3;\frac{1}{2};\frac{2}{3})$ thỏa mãn $\blacksquare$