Vieta Jumping | .: Hoang Hung Chelski 's Blog :.

Giả sử $x,y\in \mathbb{Z^+}$ sao cho $xy\mid x^2+y^2+6$ . CMR: $A=\displaystyle{\frac{x^2+y^2+6}{xy}}$ là lập phương đúng của một số tự nhiên.
Lời giải
$(*)$ Xét $x=y\Rightarrow A=\displaystyle{\frac{2x^2+6}{x^2}=2+\frac{6}{x^2}}; A\in \mathbb{N*}\Rightarrow x^2\in U(6)\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=1\Rightarrow A=8=2^3\rightarrow \text{True}$
$(*)$ Xét $x\neq y$ . Không mất tính tổng quát, giả sử $x>y$ .
Gọi $(x,y)$ là bộ số có $x$ nhỏ nhất sao cho $A\in \mathbb{N^*}$
Ta có: $A=\displaystyle{\frac{x^2+y^2+6}{xy}}\Leftrightarrow x^2-x.Ay+y^2+6=0\qquad (1)$
Theo định lí $\text{Viete}: f(x)$ còn một nghiệm là $x'=\displaystyle{\frac{y^2+6}{x}}\geq x> y$ (Theo cách chọn bộ ở trên)
$\Rightarrow y$ ở ngoài khoảng hai nghiệm của $f(x)$
$\Rightarrow f(y)\geq 0$ (Theo định lí về dấu của tam thức bậc hai)
$\Rightarrow y^2-Ay^2+y^2+6>0\Leftrightarrow A<\displaystyle{\frac{6}{y^2}}+2$
Xét $y>1\Rightarrow A< 2+\displaystyle{\frac{6}{1^2}=8}\Rightarrow A=1$ (vì $A$ là lập phương đúng) $\Rightarrow x^2-xy+y^2=-6$ (vô lí)
$\Rightarrow y=1\Rightarrow A=\displaystyle{\frac{x^2+7}{x}=x+\frac{7}{x}}\Rightarrow x\in U(7),x\in \mathbb{Z^+}\Rightarrow x\in \left \{ 1;7 \right \}\Rightarrow A=8=2^3$
Vậy ta có $Q.E.D\qquad \blacksquare$