Các kì thi | .: Hoang Hung Chelski 's Blog :.

ĐỀ THI OLYMPIAD CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN 2014
Thời gian: 180 phút

NGÀY THỨ NHẤT
Câu I: Tìm tất cả bộ $3$ số $(x,n,p)$ với $x,n\in \mathbb{Z^+};p\in \mathbb{P}$ thỏa mãn: $x^3+2x=3(p^n-1)$

Câu II: Cho $\triangle ABC$ . Trên đoạn $AC$ lấy điểm $P$ và trên đoạn $PC$ lấy điểm $Q$ sao cho $\displaystyle{\frac{PA}{PC}=\frac{QP}{QC}}$ . Đường tròn ngoại tiếp $\triangle {ABQ}$ cắt $BC$ tại $R\neq B$ .
a, CMR: $\widehat {ABP}=\widehat {PRQ}$
b, Gọi $S$ là giao của hai đường tròn ngoại tiếp $\triangle {PAB}, \triangle {PQR}$

Câu III: Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $(a+b+2c)(b+c+2a)(c+a+2b)=1$ .
CMR: $\displaystyle{\sum \frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^2}\geq \frac{1}{3}}$ .

NGÀY THỨ HAI
Câu IV: Tìm tất cả các đa thức hệ số thực $P(x)$ sao cho:
$(x-2)P(3x+2)=3^{2015}xP(x)+3^{2016}x-3x+6$

Câu V: $\triangle {ABC}$ nhọn với $AB<AC$ nội tiếp $(O)$ . Đường cao $AD,BE,CF$ . Gọi $(\omega)$ là đường tròn tâm $A$ đi qua $D;(\omega)$ cắt $(O)$ tại $M,N$
a, CMR: $MN$ đi qua trung điểm $DE,DF$ .
b, Gọi $EF$ cắt $BC$ tại $G$ và $DP$ là đường kính của $(\omega)$ , $PG$ cắt $(\omega)$ tại $Q\neq P$ . CMR: Trung điểm $DQ$ nằm trên $(O)$ .

Câu VI:
Xét $\displaystyle{M=\begin{Bmatrix} 1,2,3,4,...,9,10 \end{Bmatrix}}$ và $A_1,A_2,...,A_n$ là dãy cac tập con khác rỗng và phân biệt của $M$ sao cho $\begin{vmatrix} A_{i}\setminus A_{j} \end{vmatrix}\leq 3$ với mọi $i\neq j(i,j\in \begin{Bmatrix} 1,2,...,n \end{Bmatrix})$ . Tìm GTLN của $n$ .

—————–Hết——————

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2013-2014

THỜI GIAN: 150 ‘
NGÀY THI: 20/3/2014

Câu 1 (2đ)
a. Rút gọn biểu thức: $A=\frac{\sqrt{1-\sqrt{1-x^2}}.(\sqrt{(1+x)^3}+\sqrt{(1-x)^3})}{2-\sqrt{1-x^2}}$

với $-1\leq x\leq 1$

Câu 2(2đ)
a. Giải phương trình: $x^2(x^2+2)=4-x\sqrt{2x^2+4}$

b. Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^3=2x+y & & \\ y^3=2y+x & & \end{matrix}\right.$

Câu 3(2đ)
a. Tìm x,y nguyên dương sao cho $xy^2+2xy+x=32y$

b. Cho a,b là các số tự nhiên thỏa mãn $2a^2+a=3b^2+b$

CMR: $2a+2b+1$ là số chính phương.

Câu 4(3đ)
Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O;R). H là một điểm di động trên đoạn OA (H khác A). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt cung nhỏ AB tại M. Gọi K là hình chiếu của M trên OB.
a. CMR: $\widehat{HKM}=2\widehat{AMH}$