Dùng S.O.S | .: Hoang Hung Chelski 's Blog :.

(Iran TST 1996)
Cho $a,b,c$ không âm. CMR:
$\displaystyle{\frac{1}{(x+y)^2}+\frac{1}{(y+z)^2}+\frac{1}{(z+x)^2}\geq \frac{9}{4(xy+yz+zx)}}$
Lời Giải
Đặt $x+y=a,y+z=b,z+x=c \qquad(a,b,c\geq 0)$
$\Rightarrow \displaystyle{x=\frac{a+c-b}{2};y=\frac{a+b-c}{2};z=\frac{b+c-a}{2}}$
Viết lại bất đẳng thức:
$\displaystyle{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{9}{2(ab+bc+ca)-(a^2+b^2+c^2)}}$
$\Leftrightarrow \displaystyle{(a-b)^2(\frac{2}{ab}-\frac{1}{c^2})+(b-c)^2(\frac{2}{bc}-\frac{1}{a^2})+(c-a)^2(\frac{2}{ca}-\frac{1}{b^2})}\geq 0$
$\rightarrow \displaystyle{S_a=\frac{2}{bc}-\frac{1}{a^2};S_b=\frac{2}{ca}-\frac{1}{b^2};S_c=\frac{2}{ab}-\frac{1}{c^2}}$
Giả sử $a\geq b\geq c$
Dễ dàng CM: $S_a\geq 0$
Áp dụng tiêu chuẩn $4$ của định lí $S.O.S$ :
$b^2S_c+c^2S_b\geq 0$
$\Leftrightarrow \displaystyle{b^2(\frac{2}{ca}-\frac{1}{b^2})+c^2(\frac{2}{ab}-\frac{1}{c^2})}\geq 0$ $(*)$
$\Leftrightarrow b^3+c^3\geq abc \qquad (**)$
Ta có: $a\leq b+c\Leftrightarrow x+y\leq y+z+z+x\Leftrightarrow 2z\geq 0(\text {True})$
$\rightarrow b^3+c^3\geq bc(b+c)\geq abc$
BĐT $(**)$ $\Rightarrow (*)$ được CM.
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$ hoặc $a=b;c=0$ và hoán vị.
Vậy BĐT được chứng minh $\blacksquare$
______________________________