Đây là bài viết được đăng lên trang chủ Diễn đàn toán học VMF. Tải về
Number Theory 33
(Gabriel Dospinescu)
[Bài toán]: CMR có ít nhất ước nguyên tố dạng
Lời giải
Nhận xét (Tương tự bài Vietnam TST 2004): không có ước nguyên tố dạng
Xét chẵn: Ta có (mâu thuẫn)
Xét lẻ. Ta có:
. Mặt khác: (mâu thuẫn)
Từ nhận xét trên, do đó mọi ước ước nuyên tố của đều có dạng
Ta có:
Đặt
Ta có:
Gọi . Ta có:
Ta có:
Từ
Nếu mọi ước nguyên tố của (trừ ) đều có dạng (vô lí)
Do đó có ước nguyên tố dạng mà do
Vậy có ít nhất ước nguyên tố dạng là
Number Theory 32
(Taiwan TST 2005)
[Bài toán]: Cho thỏa mãn . CMR:
Lời Giải
Đặt . Phản chứng giả sử
Trường hợp không có ước nguyên tố lẻ
(vô lí)
Trường hợp có ước nguyên tố lẻ.
Ta có:
Lại có:
Nếu thì , trái với . Nếu , cũng trái với
Do đó . Xét , mâu thuẫn với . Dẫn tới
Ta có:
Vì lẻ. Ta có:
Theo Luật Thuận nghịch bình phương :
Nếu (vô lí). Do đó
Ta có: chẵn
(vô lí)
Kết luận: Vậy giả sử sai, ta có
Định lí Đào và ứng dụng
Một định lí rất hay của chú Đào Thanh Oai. Xem tại đây.
Number Theory 31
(Chọn đội tuyển KHTN 2009)
[Bài toán]: Tìm đôi một phân biệt thỏa mãn:
Lời Giải. Bài toán tương đương với việc tìm một cấp số cộng thực sự gồm số chính phương. Ta chứng minh rằng không tồn tại một cấp số cộng như vậy. Giả sử ngược lại tồn tại số chính phương lập thành một cấp số cộng tăng, tức là . Trong các cấp số như thế, chọn cấp số có công sai nhỏ nhất. Ta có thể giả sử rằng các số chính phương này đôi một nguyên tố cùng nhau, và tính chẵn lẻ của các phương trình chứng tỏ rằng mỗi một số chính phương này phải lẻ. Như vậy tồn tại các số nguyên nguyên tố cùng nhau sao cho , và công sai của cấp số cộng bằng
Ta cũng có , và có thể viết thành . Hai thừa số ở vế trái nguyên tố cùng nhau, và u và v cũng thế. Như vậy tồn tại 4 số nguyên đôi một nguyên tố cùng nhau a,b,c,d (trong đó có đúng 1 số chẵn) sao cho . Từ đây suy ra , và như vậy ta có thể thế vào phương trình để được . Phương trình này là đối xứng đối với 4 biến số nên ta có thể giả sử c là chẵn và a, b, d là lẻ. Từ phương trình bậc 2 này ta suy ra c là hàm hữu tỷ của căn bậc 2 của , từ đó suy ra tồn tại số nguyên lẻ sao cho
Vì a và d là lẻ nên tồn tại các số nguyên nguyên tố cùng nhau x và y sao cho và , trong đó . Thay vào phương trình nói trên, ta được , từ đó rõ ràng là y phải là số chẵn và x lẻ. Đổi dấu x nếu cần, ta có thể giả sử , ta có , từ đó suy ra là ba lần số chính phương còn là số chính phương. Như vậy ta có các số nguyên nguyên tố cùng nhau r, s (một số chẵn và một số lẻ) sao cho
Thay x và y vào các biểu thức của (và biến đổi nếu cần) ta được và . Vì các thừa số ở vế phải là nguyên tố cùng nhau nên 4 đại lượng phải có trị tuyệt đối chính phương, với công sai . Các đại lượng này tất cả phải cùng dấu vì nếu ngược lại thì tổng của hai số chính phương lẻ bằng hiệu của hai số chính phương lẻ, tức là, , mâu thuẫn.
Vì thế, ta phải có , và do ta có . Mặt khác, từ phương trình bậc 4 ta có , như vậy ta có bất đẳng thức . Như vậy ta có 4 số chính phương lập thành một cấp số cộng với công sai , và số cuối cùng chính là công sai của cấp số cộng ban đầu. Điều này mâu thuẫn với cách chọn bốn số chính phương ban đầu, phép chứng minh hoàn tất.
_________________________________
Nhận xét: Bài toán của học sinh, còn kia là bài toán của các GS,TS @@
Number Theory 30
[Bài toán]: CMR: Với mỗi đều chọn được để
Lời Giải
Bổ đề: Với . Khi đó với lẻ
Ta CM bằng quy nạp.
Với dễ thấy thỏa mãn
Giả sử ta có dpcm với . Do đó có giả thiết quy nạp
Ta CM với có với lẻ
Thật vậy .
Mặt khác, . Kết hợp giả thiết quy nạp với lẻ
Do đó với lẻ. Vậy bổ đề được CM.
Áp dụng: Lại sử dụng quy nạp. Giả sử đúng. Giả thiết: lẻ
Ta CM với , có lẻ.
Với chẵn, thỏa mãn
Với lẻ. Ta có:
Kết luận: Vậy có
Number Theory 29
(VMO 2001)
[Bài toán]: Cho nguyên dương, nguyên tố cùng nhau. Giả sử là hai ước nguyên tố lẻ của . Tìm số dư trong phép chia cho
Lời giải
Trước hết ta cần hai bổ đề:
Bổ đề 1: Với . Cho là ước nguyên tố lẻ của . CMR:
Chứng minh: Vì
Viết lẻ
Xét . Theo định lí nhỏ vì
Ta có:
Lại có:
Từ (vô lí)
Do đó
Bổ đề 2: Cho thỏa .
CMR:
Chứng minh: Vì
Ta có:
mà (vì luôn đúng)
Áp dụng: Ta có: (Bổ đề 1)
Mặt khác, vì
mà theo bổ đề 2
Từ mà
Kết luận: Vậy dư là
Number Theory 28
[Bài toán]: Cho nguyên dương, lẻ thỏa mãn . CMR: .
Lời Giải
Đặt với
Ta có: mà
Mặt khác: Do đó: .
Mặt khác, ta có
Lại có:
Ta có:
Theo bổ đề .
Do đó:
Mà
Kết luận: Từ
Number Theory 27
(Middle European MO 2012)
[Bài toán]:Tìm thỏa mãn:
Lời giải
Từ cùng dấu chẵn. Đặt với nguyên dương
Xét cùng chẵn, đặt với nguyên dương
Ta có:
lẻ lẻ,
Thay vào , ta có: với nguyên dương
• Với . Ta có: mà lẻ
Ta thấy với không thỏa mãn, (theo quy nạp) . Thử lại thỏa mãn.
• Với
Với không thỏa mãn, (không thỏa mãn)
Xét cùng lẻ. Trừ , ta có:
• Với (vô lí)
• Với . Từ
Ta có: mà lẻ chẵn, lẻ
(mâu thuẫn!)
Kết luận: Vậy thỏa mãn ycđb
Geometry 3
(Korea TST Final Round 2013)
[Bài toán]: Cho thỏa sao cho là tâm nội tiếp và giao với . Đường thẳng qua giao tại . Giả sử là tâm nội tiếp và là đối xứng của qua , giao với tại . CMR: .
Lời giải
Ta thấy mà
mà
Lấy là trung điểm
Vì
Mặt khác:
Cũng từ
Do đó: cân tại
Từ là đường cao cũng là trung tuyến của vuông góc với .
Xét đồng dạng
đồng dạng
Từ đồng dạng cân tại