Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

[Bài toán]: Giải phương trình: $\sqrt{2x^2+48x-27}+x\sqrt{2x^2-24x+67}=4x+6 (1)$
Lời Giải
ĐK: $2x^2+48x-27;2x^2-24x+67\geq 0$
Đặt $\sqrt{2x^2+48x-27}=a;\sqrt{2x^2-24x+67}=b\qquad(a,b\geq 0) (2)$
Ta có: $(1)\Leftrightarrow a+bx=4x+6\Leftrightarrow a=4x+6-bx$
$(2)\Rightarrow a^2+b^2=4x^2+24x+40\Leftrightarrow (4x+6-bx)^2+b^2-24x-40-4x^2$
$\Leftrightarrow b^2x^2+16x^2+36+48x-8bx^2-12bx+b^2-4x^2-24x-40=0$
$\Leftrightarrow (b^2x^2-8bx^2+12x^2)+(b^2-4)-(12bx-24x)=0$
$\Leftrightarrow x^2(b-2)(b-6)+(b-2)(b+2)-12x(b-2)=0$
$(b-2)(bx^2-6x^2+b+2-12x)=0\Leftrightarrow (b-2)[b(1+x^2)-6x^2-12x+2]=0$
$\Leftrightarrow \begin{cases}b=2\qquad (3)\\b=\displaystyle{\frac{6x^2+12x-2}{1+x^2}}\qquad(4)\end{cases}$
$\blacktriangleright (3)\Rightarrow a=4x+6-2x=2x+6;\qquad \text{DK}: x\geq-3$
$\Leftrightarrow 2x^2+48x-27=4x^2+24x+36\Leftrightarrow 2x^2-24x+63=0\Leftrightarrow 2(x-6)^2-9=0$
$\Leftrightarrow [\sqrt{2}(x-6)-3][\sqrt{2}(x-6)+3]=0$ $\Leftrightarrow x=\displaystyle{\frac{12\pm 3\sqrt{2}}{2}}$ (thoả mãn)
$\blacktriangleright (4)\Rightarrow 2(1+x^2)\sqrt{2x^2-24x+67}=2(6x^2+12x-2)$
$\Leftrightarrow (2x^2-24x+67+2(1+x^2)\sqrt{2x^2-24x+67}+x^4+2x^2+1)-(x^4+16x^2+64)=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{2x^2-24x+67}+x^2+1)^2-(x^2+8)^2=0$
$\Leftrightarrow (\sqrt{2x^2-24x+67}+x^2+1+x^2+8)(\sqrt{2x^2-24x+67}+x^2+1-x^2-8)=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{2x^2-24x+67}=7\Leftrightarrow 2x^2-24x+18=0$ $\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x=6-3\sqrt{3}(TM)\\x=6+3\sqrt{3}(KTM)\end{bmatrix}$
Vậy phương trình có nghiệm là $x\in \left \{ \displaystyle{\frac{12\pm 3\sqrt{2}}{2};6-3\sqrt{3}} \right \}$ $\blacksquare$

( Hoàng Đức Hưng )
Giải phương trình:
$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+y}}-\sqrt{1-xy}=\frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{xy}}}}$
Lời giải
ĐK: $latex 0\leq xy\leq 1; x,y\geq -1$
Ta có: $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+y}}-\sqrt{1-xy}=\frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{xy}}}}$
$\Leftrightarrow \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+y}}-\frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{xy}}}=\sqrt{1-xy}}$ (1)

Trước hết, ta phải chứng minh BĐT sau:
$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+y}}\leq \frac{2}{\sqrt{1+\sqrt{xy}}}}$ với ĐK trên.
Thật vậy, có BĐT $(a+b)^2\leq 2(a^2+b^2)$
$\Rightarrow \displaystyle{\left ( \frac{1}{\sqrt{1+x}}+\frac{1}{\sqrt{1+y}} \right )^2\leq 2\left ( \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y} \right )}$
Cần CM: $\displaystyle{\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\leq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$ với $0\leq xy\leq 1}$
$\displaystyle{\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\leq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}}$
$\Leftrightarrow \displaystyle{\frac{\sqrt{xy}-x}{(1+x)(1+\sqrt{xy})}+\frac{\sqrt{xy}-y}{(1+y)(1+\sqrt{xy})}}\leq 0$
$\Leftrightarrow \displaystyle{(\sqrt{x}-\sqrt{y})\left [ \frac{\sqrt{y}}{(1+y)(1+\sqrt{xy})}-\frac{\sqrt{x}}{(1+x)(1+\sqrt{xy})} \right ]}$
$\Leftrightarrow \displaystyle{(\sqrt{x}-\sqrt{y})\frac{\sqrt{y}(1+x)-\sqrt{x}(1+y)}{(1+x)(1+y)(1+\sqrt{xy})}}$
$=-(\displaystyle{\sqrt{x}-\sqrt{y})^2.\frac{1-\sqrt{xy}}{(1+x)(1+y)(1+\sqrt{xy})}}\leq 0$ (luôn đúng theo ĐK)

Áp dụng BĐT trên, ta có:
$\Rightarrow VT_{(1)}\leq 0$ mà $\Rightarrow VT_{(1)}\geq 0$ $\sqrt{1-xy}=0\Leftrightarrow xy=1$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\pm 1$