JBMO | .: Hoang Hung Chelski 's Blog :.

(Junior Balkan MO 2000)
[Bài toán] Tìm $n\in \mathbb{Z^+}$ sao cho $n^2+3^n$ là số chính phương.
Lời Giải
Đặt $n^2+3^n=a^2(1)(a\in \mathbb{Z^+})$
$\Leftrightarrow (a-n)(a+n)=3^n$ $\Rightarrow\begin{cases}a-n=3^m\\ a+n=3^{n-m}\end{cases}$ $(m\in \mathbb{Z^+})$
Ta có: $m<c-m\Leftrightarrow 2m<c\Leftrightarrow 2m+1\leq c$
$\blacktriangleright$ Xét $n=2m+1$ $\Rightarrow \begin{cases}a-n=3^m\\a+n=3^{m+1}\end{cases}$
$\Rightarrow a+n=3(a-n)$
$\Leftrightarrow a=2n\Rightarrow n^2+3^n=4n^2$
$\Leftrightarrow 3^n=3n^2\Leftrightarrow 3^{n-1}=n^2$ $\Rightarrow n$ lẻ.
Đặt $n=2k+1(k\in \mathbb{N}) \Rightarrow (3^k)^2=(2k+1)^2\Leftrightarrow 3^k=2k+1$
Áp dụng BĐT $Bernulli$ : $1+2k\leq (1+2)^k=3^k$
$\Rightarrow k\in \{0;1\}\Rightarrow n\in \{1;3\}$ (Thử lại thỏa mãn)
$\blacktriangleright$ Xét $n>2m+1\Rightarrow n\geq 2m+2$
Ta có: $2n=3^{n-m}-3^m=9.3^{n-m-2}-3^m$ mà $3^m\leq 3^{n-m-2}\Leftrightarrow n\geq 2m+2(\text{True})$
Áp dụng bất đẳng thức $Bernulli$ :
$\Rightarrow 2n\geq 8.3^{n-m-2}=8.(1+2)^{n-m-2}\geq 8[1+2(n-m-2)]=16n-16m-24$
$\Leftrightarrow 7n\leq 8m+12$ mà $7n\geq 14m+14\Rightarrow 6m+2\leq 0$ (vô lí)
Vậy $\boxed{n\in \{1;3\}}$ thỏa mãn $\blacksquare$

(Junior Balkan MO 1998)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $x^y=y^{x-y}$
Lời Giải
Ta có: $x^y=y^{x-y}\Leftrightarrow x=y^{\frac{x-y}{y}}\in \mathbb{Z}$
$\Rightarrow x-y\vdots y\Rightarrow x\vdots y$
Đặt $x=ty(t\in \mathbb{Z^+})$
Ta có: $ty=y^{\frac{ty-y}{y}}\Leftrightarrow t=y^{t-2}$ $(1)$
$(*)$ Nếu $y=1\Rightarrow x=1$ .
$(*)$ Nếu $y\geq 2$
+, Xét $t=1\rightarrow (1)\Leftrightarrow 1=y^{-1}\Leftrightarrow y=1\Rightarrow x=1$ (không thỏa mãn)
+, Xét $t=2\rightarrow (1)\Leftrightarrow 2=y^0$ (vô lí)
+, Xét $t=3\rightarrow (1)\Leftrightarrow y=3\Rightarrow x=9$
+, Xét $t=4\rightarrow (1)\Leftrightarrow y^2=4\Leftrightarrow y=2\Rightarrow x=8$
+, Xét $t\geq 5$ . Ta dùng quy nạp, cần phải chứng minh: $y^{t-2}>t$ $(2)$
• Xét $t=5$ thì ta có $Q.E.D$
• Xét $t>5$ . Giả sử $y^{t-2}>t$ , ta phải CM với $t+1$ thì điều phải chứng minh luôn đúng.
Thật vậy, ta có: $y^{t-1}\geq 2^{t-1}=2.2^{t-2}> 2t>t+1$
Từ $(2)\Rightarrow$ Trường hợp này không xảy ra.
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là $\boxed {(x,y)=(9;3);(1;1);(8;2)}$ $\blacksquare$