Number Theory 20

(Junior Balkan MO 2000)
[Bài toán] Tìm $n\in \mathbb{Z^+}$ sao cho $n^2+3^n$ là số chính phương.
Lời Giải
Đặt $n^2+3^n=a^2(1)(a\in \mathbb{Z^+})$
$\Leftrightarrow (a-n)(a+n)=3^n$ $\Rightarrow\begin{cases}a-n=3^m\\ a+n=3^{n-m}\end{cases}$ $(m\in \mathbb{Z^+})$
Ta có: $m<c-m\Leftrightarrow 2m<c\Leftrightarrow 2m+1\leq c$
$\blacktriangleright$ Xét $n=2m+1$ $\Rightarrow \begin{cases}a-n=3^m\\a+n=3^{m+1}\end{cases}$
$\Rightarrow a+n=3(a-n)$
$\Leftrightarrow a=2n\Rightarrow n^2+3^n=4n^2$
$\Leftrightarrow 3^n=3n^2\Leftrightarrow 3^{n-1}=n^2$ $\Rightarrow n$ lẻ.
Đặt $n=2k+1(k\in \mathbb{N}) \Rightarrow (3^k)^2=(2k+1)^2\Leftrightarrow 3^k=2k+1$
Áp dụng BĐT $Bernulli$ : $1+2k\leq (1+2)^k=3^k$
$\Rightarrow k\in \{0;1\}\Rightarrow n\in \{1;3\}$ (Thử lại thỏa mãn)
$\blacktriangleright$ Xét $n>2m+1\Rightarrow n\geq 2m+2$
Ta có: $2n=3^{n-m}-3^m=9.3^{n-m-2}-3^m$ mà $3^m\leq 3^{n-m-2}\Leftrightarrow n\geq 2m+2(\text{True})$
Áp dụng bất đẳng thức $Bernulli$ :
$\Rightarrow 2n\geq 8.3^{n-m-2}=8.(1+2)^{n-m-2}\geq 8[1+2(n-m-2)]=16n-16m-24$
$\Leftrightarrow 7n\leq 8m+12$ mà $7n\geq 14m+14\Rightarrow 6m+2\leq 0$ (vô lí)
Vậy $\boxed{n\in \{1;3\}}$ thỏa mãn $\blacksquare$