(IMO 2008 Shortlist)
[Bài toán]: Cho thỏa mãn .
CMR:
Lời Giải
Giả sử đôi một khác nhau.
Ta có:
Xét lẻ cùng dấu mà (vô lí)
Xét chẵn:
Xét lẻ, . Ta có:
Ta thấy lẻ mà số các số trong tổng chẵn do chẵn khác dấu
Tương tự (vô lí)
Xét chẵn . Đặt với .
Nếu trong ba số có một số bằng . Giả sử .
Ta có:
(dễ dàng thấy vô lí)
Nếu cả ba số đều khác
+, Với . Ta có:
+, Với . Từ giả thiết, dễ dàng thấy cùng tính chẵn lẻ .
Vậy ta có
Tag Archives: Số nguyên tố
Number Theory 22
(USA Team Selected Test 2003)
[Bài toán]: Tìm bộ ba số nguyên tố thỏa mãn điều kiện:
Lời Giải
Bổ đề: Cho lẻ sao cho thì
CM: Đặt
Ta có:
+, Với mà (vì do )
+, Với
Áp dụng:
Nếu có ít nhất số bằng nhau, dễ dàng ta thấy điều vô lí!
Không mất tính tổng quát, giả sử
+, Nếu cả đều lẻ. Ta có:
Dễ dàng thấy trường hợp thứ nhất vô lí vì
Ở trường hợp thứ hai, ta thấy hoặc mà (trái với giả thiết nên trường hợp này loại)
+, Nếu trong 3 số có số chẵn mà
Ta có:
mà mà (Thử lại thỏa mãn)
Vậy và hoán vị thỏa mãn ycđb
Number Theory 15
(Olympic Chuyên KHTN 2014)
Tìm tất cả bộ số với thỏa mãn:
Lời Giải
Ta có:
Đặt
Xét
+, Xét mà Trường hợp này không xảy ra
+, Xét
•
•
Xét , với
Ta có: nên xét các trường hợp sau:
•
•
• (vô lí)
•
Vậy phương trình có nghiệm
Number Theory 14
Cho sao cho .
CMR: là một số nguyên.
Lời Giải
Ta có: (vì )
Lại có: mà nên ta có trường hợp sau:
+, Nếu (vô lí)
+, Nếu mà
Ta có:
Từ trường hợp sau:
• Nếu
mà (mâu thuẫn)
• Nếu
Vậy ta có
Number Theory 13
(Balkan MO 2005)
[Bài toán]: Tìm nguyên tố sao cho là lập phương một số tự nhiên.
Lời Giải
Đặt
-Với không thỏa mãn
trường hợp:
Nếu . Đặt
Ta có:
+, Nếu (vô lí)
+, Nếu (vô lí)
+, Nếu (vô lí)
Vậy trường hợp này không xảy ra.
Nếu
Từ mà nên ta có trường hợp:
+, Xét
(vô lí)
+, Xét . Đặt
Từ
• Nếu
Thay đều không thỏa mãn (vì ). Ta có điều mâu thuẫn nên trường hợp này không xảy ra.
• Nếu (vô lí vì )
• Nếu
Ta có:
(Thay vào )
Kết luận: Vậy thỏa mãn
Number Theory 6
(Tuyển sinh Chuyên Thái Bình 2014-2015)
[Bài toán]: Cho nguyên dương thỏa mãn: .
CMR: là hợp số.
Lời giải
Ta có:
Vì
mà
Giả sử là số nguyên tố
Từ
Từ hai điều trên
Vì là số nguyên tố nên ta có trường hợp sau:
+, Ta có:
mà nên trường hợp này vô lí.
+, Ta có: . Tương tự, ta có điều vô lí.
Kết luận: Vậy giả sử sai, ta có là hợp số .
Number Theory 5
(Tuyển sinh Chuyên Phổ thông Năng khiếu 2014-2015)
Cho các số nguyên dương thỏa mãn $latex \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$ (1)
a. CMR: không thể là số nguyên tố.
b. CMR: Nếu thì không thể đồng thời là số nguyên tố.
Lời giải
a. Ta có:
Giả sử là số nguyên tố.
Ta có:
mà
Từ
không là số nguyên tố.
Vậy giả sử sai, ta có
b. Ta có:
Giả sử đồng thời là số nguyên tố
Từ
mà hoặc là hợp số.
Vậy giả sử sai, ta có
Number Theory 2
(THTT 434 tháng 8-2013)
Cho biết nguyên tố. Tìm nguyên sao cho . (1)
Lời giải
Đặt
(1) .
Coi phương trình trên bậc hai ẩn .
Ta có:
Để phương trình (1) có nghiệm nguyên thì phải là số chính phương.
Đặt (2)
* Nếu (1)
là số chính phương.
Đặt
Ta có:
Vì y nguyên, b là số tự nhiên
mà chẵn cùng tính chẵn lẻ.
Xét các trường hợp:
+, (vô lí)
+,
*Nếu lẻ. Đặt
Ta có:
là số chính phương.
Đặt (3)
Ta có: (3)
Lập luận tương tự như trường hợp trên, ta có các trường hợp sau:
$latex \left\{\begin{matrix} c-2y^{k-1}=\pm 1 & \\ c+2y^{k-1}=\pm 1 & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 4y^{k-1}=0\Leftrightarrow y=0\Leftrightarrow x=0$
Vậy phương trình có nghiệm là