Number Theory 21

(IMO 1997)
[Bài toán]: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $a^{b^2}=b^a$
Lời giải
Đặt $\gcd(a,b)=d\Rightarrow a=dm,b=dn(\gcd(m,n)=1)$
$\Rightarrow [(dm)^{dn^2}]^d=[(dn)^m]^d\Rightarrow (dm)^{dn^2}=(dn)^m\Rightarrow d^{dn^2}.m^{dn^2}=d^m.n^m(1)$
$\blacktriangleright$ TH1: $dn^2=m\Rightarrow m^{dn^2}=n^m$ mà $\gcd(m,n)=1\Rightarrow m=n=1$ mà $dn^2=m\Rightarrow d=1\Rightarrow (a,b)=(1;1)$
$\blacktriangleright$ TH2: $dn^2>m\Rightarrow d^{dn^2-m}.m^{dn^2}=n^m$
Thấy $m^{dn^2}\mid n^m$ mà $\gcd(m,n)=1\Rightarrow m=1$
$\Rightarrow d^{dn^2-1}=n^1=n$
• Xét $d=1\Rightarrow n=1$ $\Rightarrow (a,b)=(1;1)$
• Xét $d\geq 2\Rightarrow n\geq 2$ . Dùng quy nạp, ta sẽ CM: $2^{2n^2-1}>n\qquad (2)$
Giả sử $(2) \text{True}\forall n=k$ , ta sẽ CM $\forall n=k+1,(3)$ vẫn đúng.
Thật vậy, ta có: $2^{2k^2-1}>k\Rightarrow 2^{2k^2-1}\geq k+1$
Ta có: $2^{2(k+1)^2-1}=2^{2k^2+4k+1}=2^{2k^2-1}.2^{4k+2}\geq (k+1).2^{4k+2}\geq k+1$
Do đó $(2)$ được CM $\Rightarrow$ Trường hợp này không xảy ra.
$\blacktriangleright$ TH3: Xét $dn^2<m\Rightarrow (2)\Leftrightarrow m^{dn^2}=d^{m-dn^2}.n^m$ $\Rightarrow n^m\mid m^{dn^2}$ mà $\gcd(m,n)=1\Rightarrow n=1$
$\Rightarrow (2)\Leftrightarrow m^d=d^{m-d}$ . Theo bài Number Theory 8
$\Rightarrow (m;d)\in \{(1;1);(9;3);(8;2)\}\Rightarrow (a,b)\in \{(1;1);(27;3);(16;2)\}$
Kết luận: Nghiệm của phương trình là $(a,b)\in \{(1;1);(27;3);(16;2)\}$ $\blacksquare$